Математика, вероятно, является одним из наиболее важных навыков, которые студент будет изучать. Однако многие будут спорить о практическом значении математики в повседневной жизни. Конечно, есть, но есть шанс, что вы не будете вычислять траектории до того, как выбросите скомканную бумагу в мусорную корзину. Но если вы это сделаете, возможно, у вас есть на то веская причина — или вам нужна помощь. Что такое математика для вас? Независимо от того, как вы это видите, знание математики необходимо.

Но задумывались ли вы когда-нибудь о том, кто начал ваш изнурительный опыт в классе тригонометрии? Нет, не вините ни учителя, ни родителей! История математики дает удивительную информацию.

Прежде всего, что такое математика? Практически математика — это числа, формы и взаимоотношения между ними. Конечно, есть лучшее определение. Такие имена, как Пифагор, Евклид, Фалес, посылали покалывающие чувства по всему телу. Они, без сомнения, синонимы изучения математики. Однако для многих это просто труднопроизносимые имена, обсуждаемые в классе. Более того, корни математики выходят за рамки этих людей! На самом деле, понятие счета восходит к далекому прошлому. Настолько, что для раскопок артефактов, связанных с математикой, требуется значительное количество раскопок.

Хороший пример — кость Лебомбо, найденная в Свазиленде. По оценкам ученых, этому артефакту около 35 000 лет. На бабуиновой кости было выгравировано 29 насечек. Считается, что кость является календарной палочкой, подобной той, которую используют сегодня бушмены из Намибии. Так что для справки, это старейший найденный математический объект. Если вы думаете, что Платон старый, то это старше!

Другой артефакт, заслуживающий упоминания, — это кость Ишанго, найденная вдоль границ Уганды и Заира, недалеко от реки Нил. Говорят, что этому артефакту 20 000 лет. Любопытно, что в состав кости входил кварцевый камень, который использовался для нанесения разметки на кость. Настолько очевидно, что это был инструмент, которым пользовался ранний человек. Когда артефакт был обнаружен в 1960-х годах, у него были группы вырезов. Некоторые предполагают, что кость является самым ранним списком основных номеров. Другие считают, что это что-то вроде лунного календаря.

С помощью этих базовых математических инструментов ранние люди могли вести свою повседневную жизнь. Если вы спросите, что такое математика для них, то это просто часть их повседневной жизни.

А теперь давайте поспешим на несколько тысяч лет вперед ко времени шумеров. Считается, что они разработали систему измерений примерно за 3000-2500 лет до нашей эры. Более того, шумеры писали таблицы умножения на глиняных таблетках. Теперь это ваши древние флэшкарты! Шумеры, как известно, задокументировали свою математику религиозно. У них были таблички, охватывающие математическую тему, например, дроби, алгебру, квадратичные уравнения, а также решения линейных и квадратичных уравнений, и это лишь некоторые из них. Достаточно сказать, что шумеры с гордостью относились к изучению математики.

Древние математические тексты о высшей математике

Человек стал очень серьезно относиться к высшей математике, когда о ней начали писать об этом. Плимптон — значительный древний математический артефакт. Он считается древнейшим математическим текстом, датируемым 1900 годом до нашей эры. На табличке изображены пифагорейские тройки (конечно, в то время ее можно было назвать чем-то другим).

Математический папирус Ринда — это математический текст, найденный в Египте в 1858 году. Этот древний артефакт разделен на несколько книг. Одна книга включает в себя арифметические и алгебраические проблемы. С другой стороны, вторая книга включает в себя проблемы геометрии. Последняя книга содержит умножение дробей. О том, как оно использовалось, можно только догадываться. Но ученые считают, что она используется для преподавания принципов математики.

Документируя изучение математики, древние цивилизации передавали свои знания следующему поколению. Включая всех тех учеников, которые сегодня борются на уроках математики. Да, это также включает их потомство и всю их родословную.

Греческая высшая математика

История высшей математики не полна без греков. Греческая математика относится к математическим текстам, написанным на греческом языке. Она началась примерно в 600 г. до н.э. во времена Фалеса Милетского и закончилась в 529 г. н.э. с закрытием Афинской академии.

Греки произвели революцию в изучении математики, введя дедуктивный метод в изучение математики. Лучшим примером здесь является Пифагорейская теория. Доказательством этой теоремы стало первое использование дедуктивного метода и логического рассуждения.

Хотя многие студенты больше знакомы с Пифагором, в греческой математике есть еще одна значимая фигура. Слово Милета считается первым истинным математиком. Он является первым человеком, который использует дедуктивное мышление в математике. Более того, он смог вывести 4 следствия в своей теореме. Таким образом, он первый человек, которому приписывают математическое открытие. Кроме того, он применил свои знания в области вычисления высоты конструкций, расстояния кораблей от берега и множества других применений.

С другой стороны, Платон стал иконой в мире математики. Через свою Платоновскую академию он способствовал распространению математических знаний. Поскольку его академия была центром математики в IV веке до н.э., из его школы вышли великие математические мыслители. Такие имена, как Евдоксус и Аристотель, пришли из этого учебного заведения.

Средневековая высшая математика

В средневековье изучение высшей математики приняло другой оборот. Математика использовалась на библейской плоскости. В то время ученые верили, что математика — это решение для раскрытия природы и божественности Бога. Можно сказать, что математика использовалась для оправдания и поиска доказательств религии. В это время математики смотрели на небеса.

Ученые путешествовали по всему миру, чтобы открыть для себя новые понятия и включить их в то, что они уже знали. Одним из значительных вкладов в это время было введение Индо-арабской системы.

В 14 веке ученые исследовали такие понятия, как скорость, ускорение, арифметическая и геометрическая прогрессия и другие. Применение предыдущих концепций и создание новых проложили путь к новым математическим исследованиям.

У многих студентов проблемы с высшей математикой, но некоторым ученикам это кажется сложнее, чем другим. Это могут быть и другие яркие студенты, у которых есть острое чувство логики и рассуждений, но которые все равно плохо справляются с домашними заданиями, тестами и примерами.

С течением времени повторное отставание в высшей математике может привести к тому, что ученик будет демотивирован и поверит, что он «глуп» или плохо разбирается в данном предмете.

Более того, поскольку высшая математика является кумулятивной, отставание может означать, что ученик пропустит большую часть того, что преподается в течение оставшегося учебного семестра. Иметь базовые математические навыки очень важно, независимо от того, какую карьеру выберет тот или иной человек.

Вот почему важно выявлять проблемы на ранней стадии. При правильном сочетании условий в классе и стратегии обучения каждый учащийся может полностью раскрыть свой потенциал в высшей математике.

Существует ряд причин, по которым у студента могут возникнуть проблемы с высшей математикой в школе и университете, от низкой мотивации, вызванной математическим беспокойством, до плохого понимания того, как применять и выполнять математические операции. Но иногда основной причиной низкой успеваемости является нечто иное, например, разница в обучении или трудности с моторикой.

Чаще всего это связано с дискалькулией, при которой человеку трудно выполнять базовые вычисления и ему трудно манипулировать числами так же, как и его сверстникам.

Высшая математика и решение на заказ

Высшая математика является одним из тех предметов, которые плохо изучены как студентами, так и взрослыми. Это происходит потому, что в то время как высшая математика — это практическое решение проблем, замечание закономерностей, распознавание форм в вашем окружении и обучение счету, преподавание высшей математики в средней и старшей школе становится более абстрактным. Часто она сосредоточена на зазубривании и решении уравнений в книгах — мыслительной арифметике и таблицах времени, — что может отключить учеников и заставить их поверить в то, что математические навыки не имеют отношения к их повседневной жизни.

На самом деле, многие ученики жалуются, что высшая математика скучна. Они могут не видеть смысла в изучении алгебры, геометрии или математики в школе. Или они могут задаться вопросом, зачем им нужно уметь делать базовую арифметику, такую как сложение, вычитание, умножение и точный расчет вручную, когда ответы можно легко найти с помощью калькулятора или компьютера.

Ответ на этот последний пункт является трехкратным. Во-первых, у вас не всегда есть калькулятор; во-вторых, даже если вы это делаете, понимание того, как и зачем это делать для себя, дает более прочную основу для будущего обучения, а в-третьих, занятие арифметикой — это умственная тренировка, которая укрепляет вашу рабочую память.

Цифры окружают нас, и умение работать с ними быстро и эффективно является большим жизненным навыком. Обратите внимание, быть быстрым в арифметике также довольно практично во многих профессиях, от плотницкого дела до розничной торговли, ракетостроения, и заставлять поезда работать вовремя!

Тем не менее, высшая математика — это гораздо больше, чем арифметика. Многое из того, что идет на решение многоступенчатых словесных задач — это выявление проблемы, выбор подходящего подхода к ее решению (их может быть не один), следование правильному порядку действий.

Получить правильную арифметику — то, что может сделать калькулятор — это нечто более простое. Это одна из причин, по которой детей просят показать свою работу при выполнении домашнего задания или ответов на тесте по математике.

В некоторых случаях учителя могут на самом деле отдавать больше кредитов за хорошую работу, чем за правильный ответ. Это происходит потому, что именно в длинной, написанной от руки работе педагоги могут увидеть «математическое мышление».

Однако такой подход может наказать очень умного студента, который интуитивно прыгает в правильное решение, но не анализирует, как он туда попал, или студента, которому трудно писать от руки. Признание потребностей и сильных сторон отдельных учеников лежит в основе совершенства в обучении.

Высшая математика является обязательным предметом, преподаваемым в университетах и средних школах. Студенты также знакомятся с основными понятиями этого предмета. Не все учащиеся могут решать письменные задания по этому предмету. Особенно творческим людям трудно решать письменные задания. Однако, так как выполнение работы является обязательным, лучше всего воспользоваться возможностью заказать задания по высшей математике у людей, которые уже много лет оказывают профессиональные услуги в этой области.

Если не удаётся решить онлайн примеры или задачи, то заказать высшую математику и получить решение, остаётся одним из возможных правильных решений когда студент ищет способы быстро расправится с высшей математикой.

Исследования показали, что высшая математика является предметом, в котором на успех сильно влияют психологические факторы, в том числе тревога. Тревога — это нечто большее, чем просто чувство тревоги, это химическая реакция в мозге, которая может подавлять когнитивную обработку и вызывать физические симптомы, включая учащенное дыхание, учащенное сердцебиение и потливость.

Математическое беспокойство может привести к тому, что люди, которые в противном случае были бы сильными учениками, замерзнут на школьной викторине или экзамене.

Они могут испытывать трудности с поиском решения проблемы, неправильно истолковывать вопросы или выполнять гораздо меньше задач, на которые они не способны. Многие учащиеся с тревогой совершают неосторожные ошибки из-за стресса, который они испытывают в данный момент, и, как правило, их оценочная работа по времени хуже, чем классные занятия или задания, выполненные дома.

Как научиться решать высшую математику

Чтобы стать лучше в математике, вам нужно освоить постепенно более трудные математические примеры.

Это означает, что вы должны намеренно находить сложные задачи и примеры по высшей математике, которые вас озадачивают, и прорабатывать решить их. И если пример слишком сложный, то сначала найдите более легкую для решения задачу.

Это один из самых важных принципов, которые нужно помнить в первую очередь при изучении высшей математики.

Заказ высшей математики — как комплексное решение проблем по учёбе

К тому времени, как студенты поступают в университет, они уже успевают стать решателями проблем. Студенты учатся учиться: они реагируют на окружающую их среду и реакции других людей. Это дает ощущение опыта — непрерывный, рекурсивный процесс. Мы давно знаем, что чтение — это сложная деятельность, направленная на решение проблем. Совсем недавно учителя осознали, что математическая грамотность — это также и сложная деятельность по решению проблем, которая при более частой практике возрастает в силе и гибкости. Проблема в высшей математике — это любая ситуация, которая должна быть решена с помощью математических инструментов, но для которой нет сразу же очевидной стратегии. Если путь вперед очевиден, то это не проблема — это простое применение.

Высшие математики всегда понимали, что решение проблем является центральным в их дисциплине, потому что без проблем нет математики. Решение проблем играет центральную роль в мышлении теоретиков образования с момента выхода в свет книги Поля «Как это решить» в 1945 году. Национальный совет учителей математики на протяжении почти 40 лет последовательно выступает за решение проблем, в то время как международные тенденции в преподавании математики показали, что начиная с начала 1990-х годов все большее внимание уделяется решению проблем и математическому моделированию. По мере того, как преподаватели на международном уровне все больше осознают, что предоставление опыта решения проблем имеет важнейшее значение для того, чтобы учащиеся могли осмысленно использовать и применять математические знания на школьном уровне и практически не изменились

В 2011 году Общие основные государственные стандарты включили в Стандарты математической практики Стандарты процесса по решению проблем, аргументации и доказательству, коммуникации, представлению и связям. Для многих учителей математики это был первый раз, когда от них ожидали включения в Стандарты сотрудничества учащихся и обсуждения вопросов решения проблем. Эта практика требует совершенно иного подхода к преподаванию по мере того, как школы переходят от принципа ориентации на учителя к более диалогическому подходу к преподаванию и обучению. Задача учителей заключается в том, чтобы научить учащихся не только решать проблемы, но и изучать математику путем их решения. Хотя у многих учащихся может развиться беглость понимания процедур, им часто не хватает глубокого концептуального понимания, необходимого для решения новых проблем или установления связей между математическими идеями.

Чтобы понять, как учащиеся становятся решателями проблем, нам необходимо взглянуть на теории, которые лежат в основе обучения математике. К ним относится признание аспектов развития обучения и того существенного факта, что учащиеся активно участвуют в изучении математики, «делая, говоря, размышляя, обсуждая, наблюдая, исследуя, слушая и рассуждая». Концепция совместного обучения лежит в основе теории. Кроме того, мы знаем, что каждый учащийся находится на своем уникальном пути развития.

Как учителя могут помочь в решении высшей математики

Мотивировать учащихся, показывая им реальные ситуации, связанные с использованием высшей математики вне школьных аудиторий — это сложно. Объясняйте, как работает высшая математика, убеждайте учащихся в том, что дело не только в арифметике, но и заставляйте их с удовольствием пробовать различные подходы к решению проблем, даже если это означает, что они не всегда получают правильный ответ.

Учитель дает устные объяснения, показывает работу на доске и по возможности использует тактильные реквизиты, к которым ученики могут прикасаться и двигаться. Мультисенсорный ввод может помочь в обучении, облегчая ученикам участие в уроке, а также может укрепить материал в памяти. Это особенно важно для облегчения понимания предмета, который может быть достаточно абстрактным.

Для некоторых учащихся, особенно тех, кто борется с неграмотностью, имея возможность попрактиковаться в чтении, правописании и написании математического словаря и определений, можно легче и быстрее проследить за уроком, прочитать учебник или понять, что за проблема задается в домашнем задании или викторине.

Несмотря на то, что Нобелевской премии по математике нет, математические науки известны как самые точные науки, и некоторые из ее вековых формул используются до сих пор. По этой причине Ventana al Conocimiento ( Окно знаний ) хотела бы рассказать о некоторых величайших достижениях и фигурах в истории математики, от Древней Греции до современной математики.

3000 лет назад греки начали искать рациональные объяснения природных явлений и заложили основы геометрии и арифметики. Среди ведущих фигур были Пифагор и Феано, первая женщина-математик в истории.

Измерение земли стержнем

Несколько веков спустя греческий высший математик Эратотен смог вычислить диаметр Земли, используя стержень, воткнутый в землю, и правило трех. И сделал он это за несколько веков до того, как было продемонстрировано, что планета круглая.

Высшая математика для наполеона

Компьютерная томография, хранение данных в сотовых телефонах и эквалайзеры в музыкальной индустрии — все они работают благодаря математическим достижениям французского Жозефа Фурье в начале 19 века. Ученый, входивший в штат Наполеона, известен своим вкладом в термодинамику на основе природных явлений.

Исаак Ньютон и открытие в высшей математике

В возрасте 23 лет молодой Исаак Ньютон разработал такие теоремы, как дифференциальное и интегральное исчисление, за очень короткий период времени; они произвели революцию в современной науке, а также преподаются и применяются в наши дни.

Спасение высшей математики

Какими бы точными ни были математические науки, в начале 20 века споры о бесконечности, полноте и непротиворечивости теорем застопорились. Эту дилемму решили такие выдающиеся личности, как Курт Гёдель и Алан Тьюринг.

Посмотрите и запомните великих математиков в галереи — все более широкое использование математики в науке и на практике предъявляет все более высокие требования к математической подготовке молодежи. Одним из путей совершенствования преподавания математики является использование на занятиях и лекциях элементов историзма, поэтому я и создала этот блог

Высшая математика и понимание теории относительности

Для Эмми Нётер было нелегко быть еврейкой с научными устремлениями в Германии в начале 20 века , но это не помешало ей стать одной из величайших математических фигур своего времени. Несмотря на отсутствие доступа к университету, она в конечном итоге сформулировала фундаментальные теории для понимания теории относительности.

Происхождение высшей математики

Александрия была одним из важнейших интеллектуальных центров древнего мира. Смешение культур, музей и библиотека, а также собрание мудрых людей из разных сфер сделали город эталоном знаний во всем мире. Здесь жил Евклид, математик, написавший одну из самых влиятельных книг в истории , «Элементы», которую многие годы пили современные математики и которые заложили основы геометрии.

В 19 веке Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) внес свой вклад в алгебру, геометрию и вероятность. Карла Баббаджа (1791-1871) называют отцом компьютера, потому что он разработал механическую вычислительную машину, которую он назвал аналитическим двигателем (хотя на самом деле она не была построена при его жизни). Бэббиджу помогал другой великий математик по имени Ада Лавлейс (1815-1852). Джордж Бул (1815-1864) создал булевскую алгебру. Тем временем, в 1801 году Уильям Плейфейр (1759-1823 гг.) изобрел круговую диаграмму. Француз по имени Андре-Мишель Герри изобрел круговую диаграмму в 1829 году. Джон Венн (1834-1923) изобрел круговую диаграмму.

Одним из самых известных математиков XX века был Алан Тьюринг (1912-1954). Он известен тестом Тьюринга, который утверждает, что компьютер можно считать умным, если человек, общающийся с ним, не может сказать, что это компьютер. В конце 20 века компьютеры стали очень полезными для математиков.

В эту эпоху было много великих индийских математиков. Среди них были Арьябхата (ок. 476-550 гг.) и Брахмагупта (ок. 598-670 гг.). Известным математиком был также перс по имени аль-Хорезми. Он жил в начале 9 века. Он писал об индийских цифрах и алгебре.

В Европе великим математиком средневековья был итальянец по имени Фибоначчи (ок. 1175-1250 гг.). Он открыл серию чисел Фибоначчи. (Каждое число равно сумме двух предыдущих чисел 1, 1, 3, 5, 8, 13 и т.д.) В 1489 г. немец по имени Иоганн Видманн изобрел знак + для плюса и знак — для минуса. Знак = для равностей был придуман в 1557 г. неким Вельшманом по имени Роберт Рекорд.

В течение 17 века математика достигла быстрого прогресса. Шотландец по имени Джон Напьер (1550-1617) изобрел логарифмы. Англичанин Уильям Уотред (1575-1660 гг.) изобрел слайд-правило. Он также начал использовать символ X для умножения. Джон Граунд (1620-1674) первым изучил статистику. Тем временем, француз по имени Блез Паскаль (1623-1662) изучал вероятность. Ренес Декарт (1596-1650) изобрел декартовскую систему координат с осями x и y. Готфрид Лейбниц (1646-1716) изобрел математическое исчисление. Одним из величайших математиков 18 века был Леонард Эйлер (1707-1783). Эйлер сделал много открытий и написал сотни книг по математике. Другим великим математиком была Мария Агнеси.

Математика начинается со счета. Неразумно, однако, предполагать, что ранний счет был математикой. Можно сказать, что математика началась только тогда, когда была сохранена некоторая запись о подсчете и, следовательно, произошло некоторое представление чисел.

В Вавилонии математика развивалась с 2000 года до нашей эры. Раньше система знаковых чисел с порядковым номером развивалась в течение длительного периода с числовой базой в 60. Она позволяла представлять произвольно большие числа и фракции, и поэтому оказалась основой для более мощного развития математики.

Проблемы с количеством, например, с пифагорейскими тройками (a,b,c) изучались по крайней мере с 1700 года до нашей эры. Системы линейных уравнений изучались в контексте решения численных задач. Также изучались квадратичные уравнения, которые привели к типу числовой алгебры.

Были также изучены геометрические проблемы, связанные с аналогичными цифрами, площадью и объемом, и получены значения для π.

Вавилонская основа математики была унаследована греками и независимое развитие греков началось примерно с 450 года до нашей эры. Зенон парадоксов Элеа привел к атомной теории Democritus. Более точная формулировка понятий привела к осознанию того, что рациональных чисел не хватало для измерения всех длин. Геометрическая формулировка иррациональных чисел возникла. Исследования в области привели к форме интеграции.

Теория конических сечений показывает высокую точку в чистом математическом исследовании Аполлония. Дальнейшие математические открытия были обусловлены астрономией, например, изучение тригонометрии.

Большой греческий прогресс в высшей математике

Большой греческий прогресс в высшей математике был от 300 BC до ОБЪЯВЛЕНИЯ 200. После этого времени прогресс продолжился в исламских странах. Математика процветала, в частности, в Иране, Сирии и Индии. Эта работа не соответствовала прогрессу, достигнутому греками, но в дополнение к исламскому прогрессу, она сохранила греческую математику. Примерно с 11-го века Аделарда Батского, а затем и Фибоначчи, вернул эту исламскую математику и ее знания греческой математики обратно в Европу.

Большой прогресс в области математики в Европе начался снова в начале 16-го века с Пачоли, затем Кардан, Тарталья и Феррари с алгебраическим решением кубических и кварцевых уравнений. Коперник и Галилей совершили революцию в применении математики для изучения Вселенной.

Прогресс в алгебре имел большой психологический эффект и энтузиазм для математических исследований, в частности исследований в алгебре, распространился от Италии до Стивина в Бельгии и Вьета во Франции.

В XVII веке Нэпьер, Бриггс и другие значительно расширили возможности математики как вычислительной науки, открыв логарифмы. Кавальери добился прогресса в области вычислений с помощью своих бесконечно малых методов, а Декарт добавил к геометрии силу алгебраических методов.

Прогресс в области математических вычислений продолжился Ферматом, который вместе с Паскалем приступил к математическому исследованию вероятностей. Тем не менее, математическое исчисление должно было стать наиболее значимой темой для развития в 17 веке.

Ньютон и высшая математика

Ньютон, опираясь на работы многих ранних математиков, таких как его учитель Барроу, развил математическое исчисление в инструмент для продвижения вперед изучения природы. Его работа содержала множество новых открытий, показывающих взаимодействие между математикой, физикой и астрономией. Теория гравитации Ньютона и его теория света переносят нас в 18 век.

Однако мы должны также упомянуть Leibniz, чей гораздо более строгий подход к исчислению (хотя все еще неудовлетворительно) было установить сцену для математической работы 18-го века, а не Ньютона. Влияние Лейбница на различных членов семейства Бернулли сыграло важную роль в том, что математическое исчисление стало более мощным и разнообразным по применению.

Самым важным математиком 18 века был Эйлер, который, помимо работы в широком спектре математических областей, должен был изобрести две новые ветви, а именно, исчисление вариаций и дифференциальную геометрию. Эйлер также сыграл важную роль в продвижении исследований в области теории чисел, начатых так эффективно Ферматом.

Лагранж и высшая математика

К концу 18 века Лагранж должен был начать строгую теорию функций и механики. Примерно на рубеже веков Лаплас проделал большую работу по небесной механике, а также значительный прогресс в синтетической геометрии Монжа и Карно.

19-ый век ознаменовался быстрым прогрессом. Работа Фурье над теплом имела фундаментальное значение. В области геометрии Плюккер создал фундаментальные работы по аналитической геометрии, а Штайнер — по синтетической геометрии.

Неэвклидовая геометрия, разработанная Лобачевским и Боляем, привела к характеристике геометрии Римана. Гаусс, считающийся одним из величайших математиков всех времен, изучал квадратичную взаимность и целочисленные конгруэнтности. Его работа в области дифференциальной геометрии должна была революционизировать эту тему. Он также внес большой вклад в астрономию и магнетизм.

В 19 веке Галуа работал над уравнениями и его понимание пути, по которому математика будет следовать в изучении фундаментальных операций. Введение Галуа в концепцию группы стало предвестником нового направления математических исследований, которое продолжалось на протяжении всего XX века.

Коши, основываясь на работе Лагранжа над функциями, начал тщательный анализ и приступил к изучению теории функций сложной переменной. Эта работа будет продолжена через Вайерштрасса и Римана.

Алгебраическая геометрия и высшая математика

Алгебраическая геометрия была продолжена Кейли, чья работа над матрицами и линейной алгеброй дополнила эту работу Гамильтона и Грассмана. В конце 19 века Кантор изобрел теорию множеств почти в одни руки, в то время как его анализ понятия числа был добавлен к основной работе Дедекинда и Вайерштрасса о иррациональных числах.

В основе анализа лежали требования математической физики и астрономии. Работа Лжи над дифференциальными уравнениями привела к изучению топологических групп и дифференциальной топологии. Максвелл должен был революционизировать применение анализа к математической физике. Статистическая механика была разработана Максвеллом, Больцманом и Гиббсом. Это привело к эргодической теории.

Изучение интегральных уравнений было основано на изучении электростатики и теории потенциалов. Работа Фредхольма привела к Гильберту и развитию функционального анализа.

Существует много крупных математических открытий, но только те, которые могут быть поняты другими, ведут к прогрессу. Однако простота использования и понимания математических понятий зависит от их нотации.

Например, работе с числами явно мешает плохая нотация. Попробуйте умножить два числа вместе римскими цифрами. Что такое MLXXXIV умножить на MMLLLXIX? Добавление, конечно, это другой вопрос, и в этом случае римские цифры приходят в свое дело, купцы, которые делали большую часть арифметических сложений, неохотно отказывались от использования римских чисел.

Каковы другие примеры проблем с нотацией. Самым известным, вероятно, является нотация для исчисления, используемая Лейбницом и Ньютоном. Нотация Лейбница легче приводит к расширению идей вычисления, в то время как нотация Ньютона, хотя и хорошо описывает скорость и ускорение, имеет гораздо меньший потенциал, когда рассматриваются функции двух переменных. Британские математики, патриотично использовавшие нотацию Ньютона, поставили себя в невыгодное положение по сравнению с континентальными математиками, следовавшими за Лейбницом.

Давайте на мгновение подумаем, насколько мы все зависимы от математической нотации и условностей. Попросите любого математика решить ax = bax=b, и вам будет дан ответ x = b/ax=b/a. Я был бы очень удивлен, если бы вам дали ответ a = b/xa=b/x, но почему бы и нет. Часто мы, не осознавая этого, используем соглашение о том, что буквы в конце алфавита представляют собой неизвестные, а буквы в начале — известные количества.

Так было не всегда: Хэрриот использовал аа, как и другие в то время, неизвестные. Используемая нами конвенция (буквы, расположенные в конце алфавита и представляющие собой неизвестные) была введена Декартом в 1637 году. Другие конвенции выпали из поля зрения, например, из-за Вьета, который использовал гласные для обозначения неизвестных и согласные для обозначения знаний.

Конечно же, ax = bax=b содержит другие условные обозначения, которые мы используем, не замечая их. Например, знак «=» был введён Рекордом в 1557 году. Также axax используется для обозначения произведения aa и xx, наиболее эффективной нотации из всех, так как ничего не нужно писать!

Довольно трудно понять блеск крупных математических открытий. С одной стороны, они часто выглядят как единичные вспышки блеска, хотя на самом деле они являются кульминацией работы многих, часто менее способных, математиков в течение длительного периода времени.

Например, можно легко ответить на спор о том, открыл ли Ньютон или Лейбниц математическое исчисление первым. Так же, как и в случае с Ньютоном, он, несомненно, научился исчислению у своего учителя Бэрроу. Конечно, я не предлагаю, чтобы Кэрроу получил кредит за открытие математического исчисления, я просто указываю, что математическое исчисление является результатом длительного периода прогресса, начиная с греческой математики.

Сейчас мы находимся под угрозой сокращения основных математических открытий как не более чем везение того, кто работал над темой в «нужное время». Это тоже было бы совершенно несправедливо (хотя есть некоторые причины объяснять, почему два или более человека часто открывали что-то независимо друг от друга примерно в одно и то же время). В открытиях все еще присутствует вспышка гениальности, часто исходящей от более глубокого понимания или более четкого осознания важности тех или иных идей.

Мы рассматриваем историю математики с нашей собственной позиции понимания и утонченности. Другого пути не может быть, но, тем не менее, мы должны попытаться оценить разницу между нашей точкой зрения и точкой зрения математиков много веков назад. Часто то, как математика преподается сегодня, затрудняет понимание трудностей прошлого.

Нет никаких причин, почему кто-то должен вводить отрицательные числа только для того, чтобы быть решением таких уравнений, как x + 3 = 0x+3=0. На самом деле нет никаких реальных причин, почему отрицательные числа должны вводиться вообще. Никто не владел -2 книгами. 2 можно представить как некое абстрактное свойство, которым обладает каждое множество из 2-х объектов. Это само по себе является глубокой идеей. Добавление 2 яблок к 3 яблокам — это одно дело. Понимая, что есть абстрактные свойства 2 и 3, которые применимы к каждому множеству с 2 и 3 элементами, и что 2 + 3 = 5 — это общая теорема, которая применима независимо от того, являются ли они множествами яблок, книг или деревьев, переходит из области счета в область математики.

Отрицательные числа не имеют такого конкретного представления, на котором строится абстракция. Неудивительно, что их введение пришло только после долгой борьбы. Понимание этих трудностей пойдет на пользу любому учителю, пытающемуся учить детей младшего школьного возраста. Даже целые числа, которые мы рассматриваем как самое основное понятие, имеют сложность, которую можно правильно понять, лишь изучив историческую обстановку.

Если вы считаете, что математические открытия просты, то здесь вам предстоит непростая задача — заставить вас задуматься. Нэпьер, Бриггс и другие познакомили мир с логарифмами почти 400 лет назад. Они использовались в течение 350 лет в качестве основного инструмента в арифметических расчетах. Удивительное количество усилий было сэкономлено при использовании логарифмов, как тяжелые расчеты, необходимые в науке, могли когда-либо происходить без логарифмов.

Потом мир изменился. Появился карманный калькулятор. Логарифм остается важной математической функцией, но его использование в вычислениях ушло навсегда.

Что заменит калькулятор в высшей математике

Вот в чем проблема. Что заменит калькулятор? Можно сказать, что это несправедливый вопрос. Однако позвольте напомнить, что Нэпьер изобрел основные понятия механического компьютера одновременно с журналами. Основные идеи, которые приведут к замене карманного калькулятора, почти наверняка окружают нас.

Мы можем придумать более быстрые калькуляторы, более маленькие калькуляторы, лучшие калькуляторы, но я прошу о чем-то столь же отличном от калькулятора, как и сам калькулятор от таблиц журналов. У меня есть ответ на свой вопрос, но это испортит мне задачу сказать, что это такое. Подумайте об этом и поймите, как трудно было изобрести неевклидовые геометрии, группы, общую относительность, теорию множеств, …. .

Доисторические люди, должно быть, использовали простую арифметику. Однако, когда люди стали цивилизованными, математика стала намного важнее. Надлежащее ведение учета было необходимо. В Ираке народ, называемый шумерцами, насчитал 60 человек. Мы все еще делим часы на 60 минут, а минуты — на 60 секунд. Мы также делим круги на 360 градусов.

Египтяне обладали некоторыми знаниями практической геометрии, которые они использовали для построения пирамид. Однако греки интересовались идеями ради себя. Около 600 г. до н.э. грек по имени Фалес рассчитал высоту пирамиды, измерив ее статую. Но самым известным греческим математиком был Пифагор. (около 570-495 гг. до н.э.). Пифагор известен своей теоремой Квадрат на гипотенусе равен сумме квадратов с двух других сторон.

Теано из Кротоны был великой женщиной-математиком. Евклид (325-265 гг. до н.э.) наиболее известен своей книгой о геометрии Элементов. Человек по имени Эратосфен (ок. 276-194 гг. до н.э.) вычислил окружность Земли. Архимед (287-212 гг. до н.э.) разработал формулы для области форм и объемов твердых тел. Последним великим математиком Древнего мира была женщина по имени Ипатия (умерла в 415 г. н.э.).

Римские цифры состояли из I, означающей один, X, означающей десять, L, означающей пятьдесят, и C, означающей 100. У них не было символа, означающего ноль. Однако индейцы придумали символ «ноль», а цифры, которые мы сейчас используем, были изобретены ими. Позже они были использованы арабами и впервые появились в Европе в средние века.

Наивные вопросы вроде этого имеют свое место в истории; ответ на них обычно является встречным вопросом, в данном случае, что вы подразумеваете под » высшей математикой»?

Напомню

Высшая математика — это курс обучения в средних и высших учебных заведениях, включающий высшую алгебру и математический анализ. Высшая математика включает обычно аналитическую геометрию, элементы высшей и линейной алгебры, дифференциальное и интегральное исчисления, дифференциальные уравнения, теорию множеств, теорию вероятностей и элементы математической статистики. Часто используется в экономике и технике. Является обязательным предметом в российских высших учебных заведениях, за исключением специальностей, в которых различные разделы математики разнесены по разным дисциплинам.

Довольно устаревшая точка зрения ограничивает ее логико-дедуктивной традицией, унаследованной от греков, истоки которой обсуждаются в следующей главе. Проблема заключается в том, что много интересных работ, которые мы обычно называем «математикой», исключены из лейбницкого исчисления (сильного по вычислениям, но короткого по доказательствам) в вид исследовательской работы с компьютерами и фракталами, который сейчас популярен при изучении сложных систем и хаотического поведения.

Многие культуры до и после греков использовали математические операции, начиная с простого счета и измерения и заканчивая решением проблем различной степени сложности; вопрос заключается в том, как провести черту, чтобы определить, когда началась собственно математика, или стоит ли ее рисовать.1 Как мы увидим, раннюю историю греческой математики трудно воссоздать с уверенностью.

Напротив, история гораздо более древних цивилизаций Ирака (Шумер, Аккад, Вавилон) в период с 2500 г. по 1500 г. до н.э. дает достаточно подробную, хотя и несистематическую запись различных этапов по маршруту, ведущему к своеобразной математике. Не вдаваясь в подробности всей истории, в этой главе мы можем рассмотреть некоторые из этих этапов как иллюстрации проблемы, поднятой нашим первоначальным вопросом/вопросами. Математика какого рода и зачем? И какие условия, по-видимому, благоприятствовали ее развитию?

Прежде чем попытаться ответить на любой из этих вопросов, нам нужна минимальная историческая подготовка. Различные цивилизации, с разными названиями, следовали друг за другом в регионе, который сейчас является Ираком, примерно с 4000 до 300 г. до н.э. (примерная дата греческого завоевания). Наше свидетельство о них полностью археологическое — артефакты и записи, которые они оставили, и которые были раскопаны и изучены учеными. С очень ранней даты, по какой бы то ни было причине, они, как описывает цитата из Боттеро, развили высокую степень иерархии, рабский или полурабский труд и навязчивую бюрократию на службе сочетания царей, богов и их священников. Письмо самого основного вида было разработано около 3300 бк и продолжалось с использованием более развитой формы оригинального «клинописного» (клиновидного) шрифта в течение 3000 лет, на разных языках. Документы были необычайно хорошо сохранены, так как тексты создавались путем нанесения оттисков на глиняные таблички, которые быстро затвердевали и сохранялись даже при выбрасывании или использовании в качестве обломков для заполнения стен (см. рис. 1).

Математическая табличка (Сумма 70, умноженная на 2. Шумер, до 2050 г. до н.э.)

Относительно короткий период в длительной истории предоставил основные математические документы, насколько нам известно в настоящее время. Как обычно, мы должны быть осторожны; наши знания и оценка области изменились за последние 30 лет, и у нас нет возможности узнать (а) какие раскопки или расшифровки появятся в будущем и (б) какие тексты, которые в настоящее время игнорируются, будут найдены важными будущими исследователями. В этот период — с 2500 по 1750 г. до н.э. — шумеры, основатели южноиракской цивилизации на основе уруков и изобретатели письменности, среди прочего, были свергнуты семитоязычным народом, аккады, которые, как часто делают захватчики, приняли шумерскую модель государства и использовали шумерский (который не имеет отношения ни к какому известному языку, и который постепенно вымер) в качестве языка культуры.