Математика начинается со счета. Неразумно, однако, предполагать, что ранний счет был математикой. Можно сказать, что математика началась только тогда, когда была сохранена некоторая запись о подсчете и, следовательно, произошло некоторое представление чисел.

В Вавилонии математика развивалась с 2000 года до нашей эры. Раньше система знаковых чисел с порядковым номером развивалась в течение длительного периода с числовой базой в 60. Она позволяла представлять произвольно большие числа и фракции, и поэтому оказалась основой для более мощного развития математики.

Проблемы с количеством, например, с пифагорейскими тройками (a,b,c) изучались по крайней мере с 1700 года до нашей эры. Системы линейных уравнений изучались в контексте решения численных задач. Также изучались квадратичные уравнения, которые привели к типу числовой алгебры.

Были также изучены геометрические проблемы, связанные с аналогичными цифрами, площадью и объемом, и получены значения для π.

Вавилонская основа математики была унаследована греками и независимое развитие греков началось примерно с 450 года до нашей эры. Зенон парадоксов Элеа привел к атомной теории Democritus. Более точная формулировка понятий привела к осознанию того, что рациональных чисел не хватало для измерения всех длин. Геометрическая формулировка иррациональных чисел возникла. Исследования в области привели к форме интеграции.

Теория конических сечений показывает высокую точку в чистом математическом исследовании Аполлония. Дальнейшие математические открытия были обусловлены астрономией, например, изучение тригонометрии.

Большой греческий прогресс в высшей математике

Большой греческий прогресс в высшей математике был от 300 BC до ОБЪЯВЛЕНИЯ 200. После этого времени прогресс продолжился в исламских странах. Математика процветала, в частности, в Иране, Сирии и Индии. Эта работа не соответствовала прогрессу, достигнутому греками, но в дополнение к исламскому прогрессу, она сохранила греческую математику. Примерно с 11-го века Аделарда Батского, а затем и Фибоначчи, вернул эту исламскую математику и ее знания греческой математики обратно в Европу.

Большой прогресс в области математики в Европе начался снова в начале 16-го века с Пачоли, затем Кардан, Тарталья и Феррари с алгебраическим решением кубических и кварцевых уравнений. Коперник и Галилей совершили революцию в применении математики для изучения Вселенной.

Прогресс в алгебре имел большой психологический эффект и энтузиазм для математических исследований, в частности исследований в алгебре, распространился от Италии до Стивина в Бельгии и Вьета во Франции.

В XVII веке Нэпьер, Бриггс и другие значительно расширили возможности математики как вычислительной науки, открыв логарифмы. Кавальери добился прогресса в области вычислений с помощью своих бесконечно малых методов, а Декарт добавил к геометрии силу алгебраических методов.

Прогресс в области математических вычислений продолжился Ферматом, который вместе с Паскалем приступил к математическому исследованию вероятностей. Тем не менее, математическое исчисление должно было стать наиболее значимой темой для развития в 17 веке.

Ньютон и высшая математика

Ньютон, опираясь на работы многих ранних математиков, таких как его учитель Барроу, развил математическое исчисление в инструмент для продвижения вперед изучения природы. Его работа содержала множество новых открытий, показывающих взаимодействие между математикой, физикой и астрономией. Теория гравитации Ньютона и его теория света переносят нас в 18 век.

Однако мы должны также упомянуть Leibniz, чей гораздо более строгий подход к исчислению (хотя все еще неудовлетворительно) было установить сцену для математической работы 18-го века, а не Ньютона. Влияние Лейбница на различных членов семейства Бернулли сыграло важную роль в том, что математическое исчисление стало более мощным и разнообразным по применению.

Самым важным математиком 18 века был Эйлер, который, помимо работы в широком спектре математических областей, должен был изобрести две новые ветви, а именно, исчисление вариаций и дифференциальную геометрию. Эйлер также сыграл важную роль в продвижении исследований в области теории чисел, начатых так эффективно Ферматом.

Лагранж и высшая математика

К концу 18 века Лагранж должен был начать строгую теорию функций и механики. Примерно на рубеже веков Лаплас проделал большую работу по небесной механике, а также значительный прогресс в синтетической геометрии Монжа и Карно.

19-ый век ознаменовался быстрым прогрессом. Работа Фурье над теплом имела фундаментальное значение. В области геометрии Плюккер создал фундаментальные работы по аналитической геометрии, а Штайнер — по синтетической геометрии.

Неэвклидовая геометрия, разработанная Лобачевским и Боляем, привела к характеристике геометрии Римана. Гаусс, считающийся одним из величайших математиков всех времен, изучал квадратичную взаимность и целочисленные конгруэнтности. Его работа в области дифференциальной геометрии должна была революционизировать эту тему. Он также внес большой вклад в астрономию и магнетизм.

В 19 веке Галуа работал над уравнениями и его понимание пути, по которому математика будет следовать в изучении фундаментальных операций. Введение Галуа в концепцию группы стало предвестником нового направления математических исследований, которое продолжалось на протяжении всего XX века.

Коши, основываясь на работе Лагранжа над функциями, начал тщательный анализ и приступил к изучению теории функций сложной переменной. Эта работа будет продолжена через Вайерштрасса и Римана.

Алгебраическая геометрия и высшая математика

Алгебраическая геометрия была продолжена Кейли, чья работа над матрицами и линейной алгеброй дополнила эту работу Гамильтона и Грассмана. В конце 19 века Кантор изобрел теорию множеств почти в одни руки, в то время как его анализ понятия числа был добавлен к основной работе Дедекинда и Вайерштрасса о иррациональных числах.

В основе анализа лежали требования математической физики и астрономии. Работа Лжи над дифференциальными уравнениями привела к изучению топологических групп и дифференциальной топологии. Максвелл должен был революционизировать применение анализа к математической физике. Статистическая механика была разработана Максвеллом, Больцманом и Гиббсом. Это привело к эргодической теории.

Изучение интегральных уравнений было основано на изучении электростатики и теории потенциалов. Работа Фредхольма привела к Гильберту и развитию функционального анализа.

Существует много крупных математических открытий, но только те, которые могут быть поняты другими, ведут к прогрессу. Однако простота использования и понимания математических понятий зависит от их нотации.

Например, работе с числами явно мешает плохая нотация. Попробуйте умножить два числа вместе римскими цифрами. Что такое MLXXXIV умножить на MMLLLXIX? Добавление, конечно, это другой вопрос, и в этом случае римские цифры приходят в свое дело, купцы, которые делали большую часть арифметических сложений, неохотно отказывались от использования римских чисел.

Каковы другие примеры проблем с нотацией. Самым известным, вероятно, является нотация для исчисления, используемая Лейбницом и Ньютоном. Нотация Лейбница легче приводит к расширению идей вычисления, в то время как нотация Ньютона, хотя и хорошо описывает скорость и ускорение, имеет гораздо меньший потенциал, когда рассматриваются функции двух переменных. Британские математики, патриотично использовавшие нотацию Ньютона, поставили себя в невыгодное положение по сравнению с континентальными математиками, следовавшими за Лейбницом.

Давайте на мгновение подумаем, насколько мы все зависимы от математической нотации и условностей. Попросите любого математика решить ax = bax=b, и вам будет дан ответ x = b/ax=b/a. Я был бы очень удивлен, если бы вам дали ответ a = b/xa=b/x, но почему бы и нет. Часто мы, не осознавая этого, используем соглашение о том, что буквы в конце алфавита представляют собой неизвестные, а буквы в начале — известные количества.

Так было не всегда: Хэрриот использовал аа, как и другие в то время, неизвестные. Используемая нами конвенция (буквы, расположенные в конце алфавита и представляющие собой неизвестные) была введена Декартом в 1637 году. Другие конвенции выпали из поля зрения, например, из-за Вьета, который использовал гласные для обозначения неизвестных и согласные для обозначения знаний.

Конечно же, ax = bax=b содержит другие условные обозначения, которые мы используем, не замечая их. Например, знак «=» был введён Рекордом в 1557 году. Также axax используется для обозначения произведения aa и xx, наиболее эффективной нотации из всех, так как ничего не нужно писать!

Довольно трудно понять блеск крупных математических открытий. С одной стороны, они часто выглядят как единичные вспышки блеска, хотя на самом деле они являются кульминацией работы многих, часто менее способных, математиков в течение длительного периода времени.

Например, можно легко ответить на спор о том, открыл ли Ньютон или Лейбниц математическое исчисление первым. Так же, как и в случае с Ньютоном, он, несомненно, научился исчислению у своего учителя Бэрроу. Конечно, я не предлагаю, чтобы Кэрроу получил кредит за открытие математического исчисления, я просто указываю, что математическое исчисление является результатом длительного периода прогресса, начиная с греческой математики.

Сейчас мы находимся под угрозой сокращения основных математических открытий как не более чем везение того, кто работал над темой в «нужное время». Это тоже было бы совершенно несправедливо (хотя есть некоторые причины объяснять, почему два или более человека часто открывали что-то независимо друг от друга примерно в одно и то же время). В открытиях все еще присутствует вспышка гениальности, часто исходящей от более глубокого понимания или более четкого осознания важности тех или иных идей.

Мы рассматриваем историю математики с нашей собственной позиции понимания и утонченности. Другого пути не может быть, но, тем не менее, мы должны попытаться оценить разницу между нашей точкой зрения и точкой зрения математиков много веков назад. Часто то, как математика преподается сегодня, затрудняет понимание трудностей прошлого.

Нет никаких причин, почему кто-то должен вводить отрицательные числа только для того, чтобы быть решением таких уравнений, как x + 3 = 0x+3=0. На самом деле нет никаких реальных причин, почему отрицательные числа должны вводиться вообще. Никто не владел -2 книгами. 2 можно представить как некое абстрактное свойство, которым обладает каждое множество из 2-х объектов. Это само по себе является глубокой идеей. Добавление 2 яблок к 3 яблокам — это одно дело. Понимая, что есть абстрактные свойства 2 и 3, которые применимы к каждому множеству с 2 и 3 элементами, и что 2 + 3 = 5 — это общая теорема, которая применима независимо от того, являются ли они множествами яблок, книг или деревьев, переходит из области счета в область математики.

Отрицательные числа не имеют такого конкретного представления, на котором строится абстракция. Неудивительно, что их введение пришло только после долгой борьбы. Понимание этих трудностей пойдет на пользу любому учителю, пытающемуся учить детей младшего школьного возраста. Даже целые числа, которые мы рассматриваем как самое основное понятие, имеют сложность, которую можно правильно понять, лишь изучив историческую обстановку.

Если вы считаете, что математические открытия просты, то здесь вам предстоит непростая задача — заставить вас задуматься. Нэпьер, Бриггс и другие познакомили мир с логарифмами почти 400 лет назад. Они использовались в течение 350 лет в качестве основного инструмента в арифметических расчетах. Удивительное количество усилий было сэкономлено при использовании логарифмов, как тяжелые расчеты, необходимые в науке, могли когда-либо происходить без логарифмов.

Потом мир изменился. Появился карманный калькулятор. Логарифм остается важной математической функцией, но его использование в вычислениях ушло навсегда.

Что заменит калькулятор в высшей математике

Вот в чем проблема. Что заменит калькулятор? Можно сказать, что это несправедливый вопрос. Однако позвольте напомнить, что Нэпьер изобрел основные понятия механического компьютера одновременно с журналами. Основные идеи, которые приведут к замене карманного калькулятора, почти наверняка окружают нас.

Мы можем придумать более быстрые калькуляторы, более маленькие калькуляторы, лучшие калькуляторы, но я прошу о чем-то столь же отличном от калькулятора, как и сам калькулятор от таблиц журналов. У меня есть ответ на свой вопрос, но это испортит мне задачу сказать, что это такое. Подумайте об этом и поймите, как трудно было изобрести неевклидовые геометрии, группы, общую относительность, теорию множеств, …. .